On suppose que tous les ai sont des entiers. Pour établir la réciproque, raisonnons par récurrence sur n ≥ 2 pour établir qu’il existe une matrice à coefficients dans ℤ , de déterminant 1, dont la première ligne est a 1 , … , a n premiers dans leur ensemble. 1) Montrer que (m-n) est (m+n) ont la même parité. 1) Montrer que ab est d’ordre fini et que l’ordre de ab divise le ppcm des ordres de a et b. et que v est nilpotent. a) Soit n2N. Montrer que 1.3 divise 22n+1 + 1; 2.6 divise 5n3 + n; 2 (b)En utilisant qu’elle commute avec E 1,i pour tout i ∈[[1n]], en déduire que A est colinéaire à I n. 4./Les matrices de rang 1: (a)Montrer que M ∈M n(K) est de rang 0 ou 1 si et seulement si il existe U et V ∈Kn tels que M = UtV. (b) Existe-t-il des entiers naturels y et n tels que y2 = 2n +1? (a) Montrer que x2 = 2n −1 n’a pas de solution si n > 1. 2) En supposant qu’il n’existe qu’un nombre ni de nombres premiers p 1;:::;p N et on posant M = p 1p 2:::p 3.Trouver tous les entiers positifs n tels que 10 divise 3n + 1. On exclut désormais le cas trivial n = 0 (la congruence modulo 0 est l' égalité ; on peut accessoirement remarquer que modulo 1, deux entiers quelconques sont équivalents [ 3 ] ). , on a la relation suivante, valable si 0 ≤ k ≤ n−1, (41) Xk p=0 n p = Xk p=0 2p n−p−1 k −p . Montrer que 34 + 45 peut s’écrire sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers. Ces u k sont donc des entiers et la relation qui précède assure que les entiers a 1, …, a n sont premiers dans leur ensemble. Dé nition . b) On a vu que : donc Soit encore : et donc le couple (-48 ; 36) est une solution particulière de l'équation. Réciproquement, on remplace dans l'équation soit : et donc . 2) Déterminer les nombres entiers naturels x et y qui vérifient : x²-y²=42 Corrigé: 1) Supposons que( m-n) est pair. Cet entier kest appelé ordre de xet est noté op xq . [S] 3. Indication H Correction H Vidéo [000337] Exercice 14 ... Soit X l’ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 avec k 2N. 2) Voici deux exemples mettant un œuvre une même procédure pe rmettant de déterminer si un nombre entier naturel est divisible par 7 ou non. Montrer que si ; est un couple solution de l'équation définie dans la partie A , alors ² 1 et ² sont des entiers consécutifs puissants. Exercice 2. Exemple 1 : Montrer que si a ≡b (mod m) et 0 et ≤a 1, tels que pour tout entier k il existe un entier a k tel que an k b mod k. Montrer que b est une puissance n-i eme. 4. Montrer que 5n +19 est toujours divisible par 4 si n ∈ N. 5. 2.Montrer que F N est pair si et seulement si 3 divise N + 1. Soit kun entier naturel. On dit que xest primitif modulo 29 si op xq 28. 1. et raisonner avec des entiers. Solution : est pair alors : ak Donc 2 avec k Impair alors : bk 21c avec kc a b k k k k k c c cc2 2 1 2 1 2 1 Donc : ab 9 2 12est un nombre impair Exercice6 : Montrer que si est impair alors a2 est un nombre impair Solution : est impair alors : ak 21 avec Soient , et - deux entiers naturels. c) En déduire un équivalent très simple de un lorsque n est au voisinage de + ∞. 2.On considère le nombre p 2+ p 3. 3.En d eduire que ab divise n. Corollaire du th eor eme de Gauss : produit de 5 entiers … Soit xun entier premier avec 29. Montrer que le produit infini Y n≥2 1− 1 n est divergent, et que Y∞ n=2 1− 1 n = 0. 3 Soit a = 8 ×9 × 10 × × 100. On suppose que A et B sont premiers entre eux. a. Montrer que, si les couples (U 1,V 1) et (U 2,V 2) vérifient le théorème de Bezout pour A et B, le polynôme V 1 −V 2 (resp. 2.Pour montrer la décroisance, montrer u n+1 u n 61. Démontrer que, si a et b sont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiers a+b et ab. On la démontre par récurrence sur n. La relation est vraie lorsque n = 1 ou k = 0. Montrer que si Y n≥q u n converge, alors les u n sont tous non nuls et lim n→∞ u n = 1. Nombres pairs, ... Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair. (F-M) On va montrer que l’ensemble des nombres premiers est in ni. On d e nit la suite (F n) n2N de Fibonacci par F 0 = F 1 = 1 et F n+1 = F n + F n 1. c’est-à-dire m+n=2(m-k) Il s’ensuit que m+n est pair. Donc S = 3k, avec k entier. Si … 2 Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est pair et en déduire que, si on retranche 1 au carré d'un entier impair, on obtient un multiple de 8. Les premiers entiers premiers sont : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 ... Euclide a montré qu'il existait une infinité de nombres … Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que : si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a. 4. 1.Montrer que si p a une racine rationnelle a b (avec a et b premiers entre eux) alors a divise a0 et b divise an. Soient a, b et n trois entiers non nuls. Soit deux entiers consécutifs n et n+1. III. Exercice 6.2 Soit z = PD p 3+i 1 i. Donner la forme exponentielle, puis la forme algébrique de z2019. 2.Montrer que a divise k0. 1. (c) Montrer que z3 = 2n −1 n’a pas de solution si n > 1… affirme que A et B sont premiers entre eux dans R[X] si et seulement si il existe un couple (U,V) de polynômes de R[X] tel que AU + BV = 1. Montrer que l'entier naturel B , -@ est un nombre puissant. 1. Supposons qu’elle soit vraie à l’ordre n−1, pour tout k compris entre 0 et n−2. b) Montrer alors que : ∀n ∈ℕ* \ 1{}, 1 ln ln 1n u nn n + ≤ ≤ + . On en déduit que S est un multiple 3. Devoir de spécialité 11 ( TS1-4 pour le lundi 7 mai 2018) Exercice 1 Les nombres de la forme 2n 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne. 2) On considère un entier n 0 tel que 9 divise 7n+n3. Au programme : détermination de la parité d'entiers relatifs, problèmes sur les nombres pairs et impairs 3) Montrer que si les ordres de a et b sont premiers entre eux, l’ordre de ab est ´egal au ppcm des ordres de a et de b.! 2. 1) Donner tous les nombres entiers naturels à un et deux chiffres divisibles par 7. Montrer qu’il existe un entiers N tel que si k N alors on a k 2S. 3.Montrer que A est l’ensemble des entiers premiers avec 10. Ainsi, les solutions sont de la forme et , avec k entier quelconque. 2. 1 . Pour certaines classes de nombres, il y a une méthode évidente, par exemple pour un rationnel, on l'écrit sous la forme d'une fraction a/b en nombres entiers. On appelle nombre premier tout nombre entier supérieur ou égal à 2 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même. 2. Il existe 2N et ktel que 2 ^k= 1 et n= 2 k. b) Montrer que si k>3, alors F nest divisible par 22 + 1. c) En déduire que si F nest premier, alors il existe un entier ktel que n= 2k. Pour tout diviseur premier p de b la valuation du membre droit vaut v p(b). Montrer que nest divisible par 3 Exemple3 : Montrer que si x ≡a (mod m) alors pour tout k ∈Z , x ≡a −km (mod m) Applications de l’exemple 3 Alors (a k)n = b+ mb2 pour un m entier. Exercice 19.— (Autour de la série harmonique) On considère, pour tout n 1, le réel Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f. Montrer 2.Montrer qu’il y a une in nit e de nombres premiers de la forme 6k 1 avec k 2N . Deux entiers relatifs a et b sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c'est-à-dire si a est de la forme b + kn avec k entier. 2) Montrer que si G est ab´elien, l’ensemble des ´el´ements d’ordre fini de G forme un sous-groupe. Si tu montres que x= 2k avec k appartenant à N, tu montres que x est un entier (pair). Le but de cet exercice est de trouver tous les répunits qui sont des carrés parfaits. Indication pourl’exercice11 N 1.C’est un calcul de réduction au même dénominateur. 2.Montrer que pour k 2N, 34k 1 mod(5). D emonstration. Montrer. 5.Si u1 p a k et pour n 1 montrer que un p a 2 p a k 2 p a 2n 1: 6.Application : Calculer p ... q vq par q! Soit k l’entier tel que, k = n + 1. Exercice 23 Montrer que 105 est inversible dans Z=143Z et calculer son inverse. Exercice 4 Montrer que si deux entiers premiers entre eux a et b divisent n, alors le produit ab divise également n. Solution de l’exercice 4 Comme a divise n, on peut écrire n = ak pour un certain entier k. Mais alors b divise ak et comme il est premier avec a, il divise k. Soit . TD 6 : Nombres complexes I Forme algébrique, forme exponentielle Exercice 6.1 Identité du parallélogramme F Montrer que pour tous 2z;z0 2C, jz +z0j2 +jz z0j2 = 2j zj2 +jz0j2.Interpréter géométriquement. b) En déduire que ne divisible par 3 et conclure. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. [S] 2. Donc S = 3. k, avec . Exercices corrigés sur l'arithmétique en 2nd. Remarque : cet exemple prouve que la r´eciproque du r´esultat vu en 1.1 est fausse. k. entier. Nombres premiers entre eux Exercice 16. Si a et b divisent n et si a et b sont premiers entre eux, alors ab divise n. 1.Montrer qu’il existe deux entiers k et k0 tels que : ka = k0b. Montrer qu'il existe un plus petit entier naturel non nul ktel que xk 1r 29s , et que cet entier kest inférieur ou égal à 28. 1.D eterminer les dix premiers termes de la suite. 3. k. l'entier tel que, k = n + 1. (b)Montrer que si N divise A:10k avec A 2N et k 2N, alors N divise A. 1.Montrer que si n 2N un entier positif non nul alors 2 divise 3n + 1. Il existe donc deux entiers k et k' tels que et . Chaque entier est congruà0,1 ou2 modulo3,maispasàplusqu’unparmilestrois.Etc. On en déduit que S est. Congruences Exercice 21. le polynôme U 1 −U 2) CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 27 Donc chaque entier est congru à 0 ou 1 modulo 2, mais pas aux deux. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(b; c) = 1. Trouver toutes les solutions. Un rép-unit est un entier naturel dont l'écriture décimale ne comprend que le chiffre $1$ comme par exemple $11$ ou encore $111 111$. Montrer que 8 est un diviseur de (a + 8). Exercice 6.3 Pour θ2π ;π , déterminer le module et un argument de 1+eiθ, 1 … Exercice 24 Montrer que, pour n un entier positif, on a n13 n (mod 2) et que n13 n (mod 5); 1.Montrer que X est non vide. Partie 3 Dans cette partie, n désigne toujours un entier naturel non nul. 1) Montrer que tout entier a > 1 est divisible par au moins un nombre premier. et b Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair. On prend k = b2. Montrer que det(u+v)=detu. Correction H [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0. Le Cassini des futurs MPSI (vol.