Il est donc simple de comparer les deux expériences pouvant se ramener au même principe d'ouverture de portes. ) F Donnons une formule globale pour toutes les variantes des deux paragraphes précédents. Comme une probabilité s'exprime en tant que quotient des nombres de cas, et comme la porte ne s'ouvre jamais sur le prix, on a donc deux chances sur trois d'être face aux choix "garder une chèvre ou la changer pour le prix". p On ajoute donc aux événements précédents les trois événements suivants : On a vu précédemment que lorsque le candidat avait choisi initialement une porte à chèvre, changer de porte le menait forcément à gagner la voiture, soit : On a aussi vu qu'en ayant initialement choisi la voiture, changer de porte menait forcément le candidat à ouvrir une porte à chèvre. P p 1 Dans le pre-mier cas, développement de compétence et apprentis-sage disciplinaire chevauchent. , on a : P On notera : Et on a 1 {\displaystyle p_{c}=p_{o}=p_{t}=1/3} Rappelons qu'il est équivalent de dire que la porte choisie initialement a sa probabilité de cacher la voiture inchangée ou que les portes non choisies non ouvertes ont hérité de la probabilité des portes ouvertes. De ce fait, lorsque le choix est proposé au candidat d'échanger sa boîte avec la dernière restante (dans le cas où il reste un prix de faible valeur et un autre de forte valeur), étant donné qu'il a éliminé toutes les autres boîtes de manière aléatoire, la probabilité de gagner le gros lot en échangeant sa boîte reste de 1⁄2. 1 + La distance, que l'on désigne le plus souvent par la lettre d, est la mesure entre deux points en ligne droite. Longtemps le raisonnement développé ci-dessus n'a pas fait l'unanimité. Le fait de poster ces petits problèmes sur un réseau social utilisé par de nombreux enseignants a également permis de les partager avec d’autres collègues, les aidant certainement dans … ( G {\displaystyle p_{3}=p_{2}} Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Gardons les mêmes règles du jeu, mais modifions la formulation du but à atteindre : Pour gagner, au lieu de trouver la voiture, vous devez éliminer les deux chèvres (en éliminant deux portes). Cette notion est compatible avec un état de (non-)connaissance, mais non avec des fréquences. o ( Ce candidat aura donc 1 chance sur 3 de gagner la voiture. | Comment calculer une distance. - Vous êtes actuellement sur le site francaisfacile.com pour apprendre le françaisSavez-vous que nous avons un site consacré aux mathématiques? Le problème se pose lorsque vous voulez retirer vos gains : on vous demande alors d’avoir parié/joué ou tradé 30 fois le montant de votre bonus. Puisqu'il n'y a qu'une seule voiture, il y a 100 % de chance qu'il y ait une chèvre derrière au moins une des portes 1 ou 2. Comme démontré précédemment, les valeurs théoriques données par les lois des probabilités sont donc : Mais on peut également pratiquer une simulation à l'aide d'un programme informatique reproduisant des parties fictives et voir si, sur un grand nombre de parties, le résultat simulé tend vers le résultat donné par les probabilités et les confirment. Or, ce choix avait une chance sur trois d'être bon. cas 2 : Le candidat ayant initialement choisi la porte de la chèvre 2, le présentateur ouvre la porte de la chèvre 1. 1 p P o ... outre la réflexion mathématique qu 'il vous est demandée. Oui pour les bayésiens, car les conditions de connaissance viennent de changer. Le premier point de vue est une illusion de parité due au fait qu'un choix est demandé sur les deux portes restantes. | Cours et exercices de mathématiques 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès. Le présentateur ouvre maintenant la porte 1. j o + On numérote les cas et on définit les événements en fonction du choix initial comme suit : Ces trois événements sont équiprobables : On observe maintenant le déroulement de la suite dans chacun de ces trois cas : On voit ici aisément que dans 2 cas sur 3, la porte restante cache la voiture. La même expérience sur 100 portes devient bien plus instructive. o Preuve : En supposant que le participant pense que le présentateur pourrait choisir la voiture, on constitue la liste les triplets de choix de la forme (1er choix participant, choix présentateur, porte restante) dont les éléments sont notés C pour chèvre, V pour voiture : (C,C,V), (C,V,C), (C,C,V), (C,V,C),(V,C,C), (V,C,C). O {\displaystyle p_{c}+p_{o}+p_{t}=1} Par conséquent, dans les 8 cas possibles où il n'a pas éliminé le gros lot, il y a autant de chances de gagner en échangeant qu'en gardant sa boîte : 1⁄2. B Savez-vous que nous avons un site consacré aux mathématiques? Chaque événement est équiprobable. La probabilité que la voiture se trouve derrière la porte restante peut être calculée avec les diagrammes ci-dessous. Si le joueur choisit une porte à chèvre, le présentateur ouvrira la seule autre porte à chèvre. ) Il est donc préférable de se fonder sur un énoncé non équivoque du problème, incluant les contraintes du présentateur, décrit par Mueser et Granberg comme suit : Le présentateur n'ouvre jamais la porte devant la voiture, en effet : Ou formulé autrement, cela revient à dire : La solution la plus simple repose sur les dénombrements, soit le comptage du nombre de cas satisfaisants, insatisfaisants et total. Non pour les fréquentistes, qui considèrent que la probabilité est associée à l'événement lui-même et non à l'observateur (ce qui n'est vrai que dans des cas comme le jet d'une pièce de monnaie, où l'observation n'apporte rien). La réponse est oui, car dans le cas où la voiture est derrière une des deux portes non choisies par le joueur (deux chances sur trois), l'animateur a éliminé la chèvre (le mauvais choix pour le joueur), il ne reste donc que la voiture. et La pertinence des résultats statistiques était parfois contestée, mais ce qui posait le plus souvent problème était que l'article n'insistait pas sur les « contraintes Â» du présentateur. Mais les espérances de gain associées à ces portes ne sont pas identiques. Mais le courrier des lecteurs lui fit se reprendre : les probabilités sont de 1⁄3 pour que le changement soit gagnant, 1⁄3 pour que le maintien du choix initial soit gagnant, 1⁄3 pour qu'il y ait remise… Soit sur l'ensemble du jeu (après autant de remises qu'il aura fallu) 1 chance sur 2 de gagner quelle que soit la stratégie adoptée lors de la première manche non annulée. pour la porte 1 (sans changement). Ici, pas de fréquences pour le joueur, dont c'est l'unique chance de participer à l'émission. Si une porte était ouverte strictement au hasard parmi les deux portes non choisies, et qu'elle révélait une chèvre, la probabilité deviendrait1⁄2 pour chacune des deux autres portes (parce qu'on a ici pris le risque d'ouvrir la porte dévoilant la voiture). ... 6 Tests de niveau français gratuits La démonstration est la même, mais le résultat est plus intuitif : il paraît tellement suspect que toutes les portes non choisies aient été ouvertes sauf une. 2 À ce point, votre probabilité d'avoir éliminé les deux chèvres est donc de 2⁄3 (étape 1) fois 1 (étape 2), c'est-à-dire de 2 chances sur 3. Les "trois cas" font référence aux trois cas du jeu : {choix d'une chèvre, choix d'une chèvre, choix du prix}. Selon qu'on autorise le joueur seulement, le présentateur seulement ou les deux à utiliser à leur avantage les phénomènes, les probabilités sont plus ou moins en faveur du joueur, mais de façon un peu analogue au problème traditionnel, la mauvaise stratégie est de conserver son vecteur initial et la bonne est de choisir un vecteur orthogonal au vecteur initial[5]. Le joueur incarnant Carlos cette fois-ci doit choisir un casier. vous allez devoir écrire les opérations en toutes lettres. {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 3 ( Les prix sont répartis par tirage au sort. p les chances sont après ouverture de t P Jusqu'ici, nous avons toujours supposé que les portes avaient à l'origine une probabilité égale de cacher la voiture. = Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ? Il est effectivement légitime de se demander pourquoi l'ouverture de la troisième porte ne modifie la probabilité que de l'une des deux portes. Ces formules s'obtiennent par calcul avec un arbre, mais on peut les trouver immédiatement en utilisant le fait que quand les portes ont à l'origine toutes la même probabilité de cacher la voiture, l'ouverture laisse les probabilités inchangées pour les portes choisies à l'origine. Exemple concret avec 3 boîtes restantes, A et B contenant 1 â‚¬ et C contenant 1 000 000 â‚¬. O Quand le présentateur a le choix entre deux portes à ouvrir (toutes deux perdantes), il choisit arbitrairement entre les deux, avec équiprobabilité, ce qui n'a pas d'importance, car les portes, alors, ne se distinguent pas fonctionnellement l'une de l'autre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? Rien n'indiquant que l'énoncé de départ doive nécessairement inclure ces postulats, on devrait pouvoir généraliser le problème à d'autres cas. t 1 De plus, le raisonnement a employé le fait que le jeu n'autorise jamais la remise. 1 Il doit tout d'abord désigner une porte. L'équation mathématique a été convertie en image. Une probabilité était alors définie comme une valeur associée à une expérience menée un grand nombre de fois et si possible même une infinité de fois. Après dévoilement de la première porte qui est C, le participant en conclut avoir les cas suivants de façon équiprobable : (C,C,V), (C,C,V), (V,C,C), (V,C,C). Le présentateur connaît la répartition des prix. soit le candidat avait choisi la voiture (1 chance, soit le candidat avait choisi une chèvre (2 chances. C'était donc une limite d'une autre nature qu'une mesure ponctuelle, puisque pouvant mettre en jeu des valeurs non réelles comme des infinis. ...6Tests de niveau français gratuitsPARTENAIRES: Sites pour professeurs | Sites pour parents | Sites de professeurs | Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de ...7Candidature/correction [Forum]J'ai l'honneur de solliciter de haute bienviellance de l'accepter l'autorisation de m' inscrire à la liste des élèves de mathematique de 3émé ...8Infinitif du verbe- CE2 [Test]PARTENAIRES: Sites pour professeurs | Sites pour parents | Sites de professeurs | Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de ...>>> Chercher plus de pages sur le thème MATHEMATIQUE FACILE sur notre site 100% gratuit pour apprendre le français. Enfin un élément est capital : le présentateur connaît la répartition des prix et n'ouvre pas sa porte complètement au hasard, au contraire : son spectacle serait sabordé s'il ouvrait la porte cachant une voiture. dans le problème traditionnel), Et on a Une application du théorème de Bayes au problème de Monty Hall pourrait être formulée ainsi : Considérons le cas où la porte 3 a été choisie et aucune porte n'est encore ouverte. Jeu qui va générer des problèmes classiques d'ajouts d'éléments nouveaux, de retraits, de comparaison ou même de partage. Dans l'épisode 8 de la saison 4 de la série Brooklyn Nine-Nine, le capitaine Holt et Kevin se disputent pour savoir qui a raison quant à la résolution de ce problème (c'est Amy Santiago qui confirme la réponse des 2/3 à Holt). Ceux qui refusent ce raisonnement (les personnes pro-1⁄2) considèrent que la situation après ouverture d'une porte est équivalente à ouvrir une mauvaise porte avant le choix du candidat. Un choix doit ensuite être fait entre les conditions suivantes : Ces hypothèses sont toutes importantes et on verra que la modification de n'importe laquelle conduit à un résultat différent. a 2 Quelles sont les probabilités ? Il est important ici de se rappeler qu'il n'y a jamais de remise (Hypothèses 2), sans quoi le raisonnement précédent n'est plus valable. + Réflexion mathématique en toutes lettres 2. Le gardien refuse de lui donner le nom du gracié, mais accepte de lui donner le nom de l'un des condamnés, qui n'est pas le sien. La solution Les questions qui se posent au candidat sont : Ci-dessous est reproduite la traduction d'un énoncé célèbre du problème, issu d'une lettre que Craig F. Whitaker avait fait paraître dans la rubrique Ask Marilyn de Marilyn vos Savant du Parade Magazine en septembre 1990[1] : « Supposez que vous êtes sur le plateau d'un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Par exemple, si nous devons résoudre le problème mathématique 8 + 2 × 5 et que nous commençons par additionner 2 et 8, nous obtiendrons alors 10 × 5 = 50, alors que si nous avions commencé par multiplier 2 et 5, nous aurions obtenu 8 + 10 = 18. C'est cet argument qui vient à bout d'un scepticisme bien naturel, et qui a fini par convaincre Paul Erdös au départ très réticent lui-même[2], si l'on en croit Le Figaro Magazine[réf. Il est peut-être plus facile d'appréhender le résultat décrit ci-dessus en considérant 100 portes et non plus trois comme précédemment. , ou plus généralement pour n portes si la probabilité moyenne des portes ouvertes pour cacher la voiture était égale à la probabilité moyenne des portes non choisies pour cacher la voiture. ». Cours gratuits > Apprendre le français > Page thématique :MATHEMATIQUE FACILESuggestions: {\displaystyle o_{c}+o_{v}+o_{t}=1}, Et on a j ... du n°512 au n°1023, la 9ème génération, du n°1024 au n°2047, la 10ème génération, etc… c’est mathématique… Le candidat a la boîte C, il élimine la boîte B, il échange : perdu. ». = {\displaystyle p_{i}} Le candidat a alors le droit d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou d'ouvrir la troisième porte. En effet, le jeu comporte un certain nombre de boîtes contenant une variété de sommes allant du très faible au très élevé, qu'il faut éliminer jusqu'à n'en avoir plus que deux. Cela modifie-t-il la connaissance que l'on a de la probabilité que derrière la porte choisie par le joueur se cache la voiture ? D'où l'intérêt pour le candidat de choisir la porte restante et de changer son choix. Le présentateur ouvre alors la porte de gauche. Une réorganisation et une clarification du contenu paraissent nécessaires. p ) Robert J. Sawyer l'évoque dans son roman Veille. 2 Si le présentateur ne le savait pas, alors la question aurait été dénuée de sens (comme on le verra en particulier dans les variantes). | celui « Le joueur avait choisi la bonne porte Â» on a, par la formule de probabilités totales : L'énoncé renvoie en définitive à un problème de probabilité conditionnelle et selon la formulation générale du théorème de Bayes : Alors pour tout La probabilité que la porte choisie par le joueur cache une voiture est donc toujours d'une chance sur trois[réf. Dans le film Las Vegas 21, un film de blackjack, un professeur du MIT de Boston demande à son étudiant de résoudre le problème de Monty Hall pour voir s'il est assez bon pour rejoindre son club de blackjack. Mais souvent, l'usage de plusieurs de ces hypothèses est implicite.
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